MOSS 2007 の構築はこれからのため、SPS2003での結果をご紹介いたします。
なお、MOSS 2007 に関しては、参考URLを基に情報を集めてみてください。
たぶん、期限内に回答が得られると思います。

Q.Exchangeのパブリックフォルダに、例えばデスクトップ上にあるwordファイルなどを保存したい場合は、マウスでドラッグ＆ドロップで保存出来たりしますが、SharePointServer2007ではそれは可能なのでしょうか？

A.SharePointServer 2003 での動作確認ですが、ドキュメント ライブラリを「エクスプローラビュー」でドラッグ＆ドロップすれば、アップロードしてくれます。また、同様にデスクトップへのダウンロードも出来ました。

Q.Exchangeは、ファイルの階層をツリー状で表示してくれていますが、
SharePointServer2007ではツリー状、もしくはツリー表示に出来ますか？

A.SharePointServer 2003 での動作確認ですが、ツリー表示は無いようです。

回答ではありませんが気になりましたので。

今度会社の方で、SharePointServer2007に移行予定なのですが特徴を調べて欲しい
こういう事って導入を決める前にデモ機とかお試し版で確認しませんか？
気軽に買える値段ではないのですから事前の調査は必要と思いますよ。

SharePointServer2003の体験版を入手したことがあります（１２０日？有効なので今は試せませんが．．）。そう言う検討を行ってから導入されることをおすすめします。

ウチでも別の部門があるソフトをよく考えもせずに導入を決めてしまい、いざ稼働したらＩＥ６しか満足に動かず、ＩＥ５．５（ｗｉｎｄｏｗｓ９８）では機能せず、ＩＥ７でタブを活かすと食いつくなど散々な目にあっています。そうなってから私に所に「どうしたらいいだろう」と言われても困るのですよ。

desato さんが指摘されていた体験版の情報などを紹介いたします。
（追記ではリンクがはれないので、新規コメントにしました）

なお、先日東京で開催された「Microsoft Office SharePoint Conference」に参加されていれば、今回のような疑問はその場で解決されていたと思うと残念です。（当然ながら MOSS2007 に詳しい方が集まっていました）

もし可能であれば一度「無償トレーニング、セミナー」に参加されてみる事をお薦めいたします。（5月20日(火) 新宿 Office SharePoint Server 2007 概要 - 情報共有と管理の為の統合サーバー、など）

最後に、個人的な印象です。Exchange ⇒ SharePoint へのグループウェア的な機能の移行については、次(2010?)か次々バージョンで完全に行われると思います。現在の 2007 はちょうど過渡期の製品であるため、微妙に機能に過不足がある状態ではないか？と考えています。