こんばんは。

Webサイトの全体管理についてですが、
レンタルサーバの専用サーバでの運用ということなので、

＞Webサイトの全体管理など必要なのかなと考えるのですが、
＞実際ディレクトリのアクセス権限など、すべて把握して
＞影響確認などしているのでしょうか？
専用サーバのお守りをするというこであれば、
やっておくべきことになると思います。

専用サーバでは、管理者の設定でいかようにもできるので、
サーバの設定内容を把握しておくことは、とても重要だと思います。
ディレクトリのアクセス権限（特にパーミッション）は
きちんと設定しないとCGIなどの実行ファイル系は動かなくなるし、
書き込みができないことも起こります。
だから、新しくプログラムを更新追加したり、Apacheなどの設定を変更した場合は、
必ず、影響確認動作確認してから公開しないと、後から「動かない」と
クレームをつけられてしまいます。

できれば、apacheは解説書を見ながらでいいので、
どのような設定をしているのか、confファイルを読んでおくといいですよ。
WebのしくみとApacheがわかってくると、
サーバの環境変更やトラブル対応にも役立ちます。

そのサービスが「単純にサーバをレンタル」しているだけなのか
「運用も　あるいは　Ｗｅｂの作成・管理まで」やって貰えるものなのか。

買ってに変更してしまった”事業部”がどの程度のものか（独立採算にちかいのか、普通の会社なら”部”程度なのか）

いずれにしてもその会社にとって大変重要であるｗｅｂサイト管理が（事業部が勝手に変更出来るような）程度の低いものでは困りますね。これをきっかけにして、「ｗｅｂサイト管理規程」とかをつくってはどうでしょうか。
サーバレンタル先がＷｅｂの作成・管理をやってくれる技量があるなら”そこに任せる”というのも方法かなと思います。
逆に「CMSをインストールした際に、apache、php、mysqlなどのバージョンアップを行」えるくらいの技量があるなら社内にｗｅｂサーバを置いて自主管理してはどうでしょうか。お互いにルールさえまもって運用すれば一番安く済みます。

かく言う私のところも一番最初は「素人の作った”我が家のホームページ”風」の作り（社員が趣味で作っていた）だったのですぐに広告会社を通じてプロを紹介してもらい本格的なｗｅｂページにしました。
今はさらにデザイナー常駐の別の業者にしています。ただし全部頼むと高いので一部は我々でもさわれるようになっています。ｗｅｂページの変更については１つの部門が責任を持って管理しており勝手には変更できないルールになっています。

私の会社のWEBサイトは別会社のサーバにあって変更もその会社に毎回、依頼しています。
私は総務の仕事もあるので新人採用の事をWEBサイトに載せなければなりません。WEBサイトの変更は役員会の承認が必要という規則に成っているので、私が　WEBサイトの採用のページの変更について　という議案を書くのです。

先日は営業部門から中途採用をしたいというので議案を書いたのですが、役員会の中で「営業員を増やすは駄目だ」ということになって否決されました。それを要求元に伝えたら「なぜ増やすのが駄目なのだ　営業部長も了承しているし」と言うのです。　そんな事は知りませんと言ったら総務部長と営業部長も巻き込んで大荒れになっています。
もう勝手にしてよ　っていう感じです。

皆さんのところでは　WEBサイトの変更　についての規則は有りますか？