わお　この段階まで来て

情シスがやるべきこととしてどのようなことがあげられるでしょうか？
では先が思いやられます。
このような作業の場合は　必要な作業（とそのテスト）を全て予定化しておき分担も決めて計画しておかないといけません。御院の場合に業者との分担がどのように計画されているか判りません（費用・技量その他の理由で分担はケースバイケース）のでこれ以上は言えません。
このような作業は往々にしてヌケがあるものです。大枠でいいので業者か情シスかユーザかの分担を決めておくとよいでしょう。ヌケがあったらその分担の範囲でどこが行うのか決定します。
心配な場合は業者に「とにかく最後まで責任持ってやれ！」とけしかけておきます。こういう時にマルチベンダーですと困りものでトラブル時に責任のなすり合いになります。情シスが主導権を発揮しないといけません。単一ベンダーなら全部お任せも可能です。

こういうものは「何かあったら金をだせ。金がないなら知恵を出せ。知恵もなければ汗を出せ」の世界ですので頑張って行きましょう。

大変ですね。

１．まず環境関連を至急確認してください。
　業者の分担が何なのか、どこまでかを整理して確認した上
　１−１レイアウト　きかいの置く場所の確認
　１−２電力　空調能力など　一時的とはいえ新旧が最低数日は動けない
　　　　といけないはずです

２．旧システムのデータを新で読めるよう　CSVやDUMPなど　なるべく
　　取り込みやすい形式で保存しておくこと。
　　過去を移行しそこなっても大丈夫なようにしておくこと。

３．新システムの設置、テスト、確認、稼動のスケジュールと分担
　　新システムに切り替える　スケジュール全般
　　多分今の業者がだいたいやってくれると思います。

４．新システム操作　運用んも教育計画や教育の実施

５．旧システムの撤去、サーバーからのデータの安全な削除

などでしょうか。
とはいえこの期間はいつでも24時間しごとができる態勢がいります
予定外で　遅れることはあっても　早く終わることはほとんどないです

責任者を決め、担当にまかせて　乗り切ってください。