申し訳ございません。
クラウドストレージは、業務で使用していないため一般的な情報だけ紹介します。
時間があれば個人的な興味で「バックグラウンドでローカルとサーバで定期的に通信しない」サービスを探してみたいとは思いましたが、時間が無いため情報だけで失礼します。

Amazon、クラウド型ファイル共有コラボサービス「Zocalo」でBoxやDropboxに対抗 - ITmedia ニュース
http://www.itmedia.co.jp/news/articles/1407/11/news053.html

記事からアメリカ市場の主要ベンダーは下記の５社と推測
・Google Apps
・Microsoft Office 365 Business Essentials
・Amazon Zocalo
・Box　プラン（Starter）
・Dropbox Pro

以前、イベントで『企業向けクラウドストレージでは「Box」がトップベンダーです』と説明を聞きました。

Box Japan | 企業向けのセ キュアなコンテンツ とオンラインファイ ル共有
https://www.box.com/ja_JP/front/

オンラインストレージ/ファイルストレージの製品一覧・比較 - IT、IT製品の情報なら【キーマンズネット】
http://www.keyman.or.jp/storage/websto/list/
《法人向け》オンラインストレージ比較 - NAVER まとめ
http://matome.naver.jp/odai/2134734993004490201

ウチでもＤｒｏｐBOX　や　どこでもキャビネット　やＧｏｏｇｌｅＡｐｐｓＤｒｉｖｅ　は使っていますが　それはデータ私のためがほとんどです　よって　社内からのアクセスはそんなにありません
私が思うに　ストレージに頻繁にアクセスするなら　やっぱり社内に置くのが一番です　ＬＡＮのスピードとインターネット接続のスピードを比べてみればわかります　単純な話しでは数十メートル先のストレージに格納するか、何百（千）キロもはなれたインターネットディスクに置くのとどっちがいいか　ということです

使用者が１拠点に集中しているなら社内にストレージを置くことを検討されてはどうでしょうか

利用するクライアントがWindows中心であれば、「BranchCache」の利用も良いのでは？と思いました。利用した事はありませんが、今回のような場合に使用する技術のはずです。

メイン拠点：ファイルサーバー構築・運用
サブ拠点：BranchCache Server 構築・運用
もしくは
Microsoft Azure：Azure 上にファイルサーバー構築・運用
全ての拠点：BranchCache Server 構築・運用

基礎から学ぶサーバーマネージャーの使い方（6）：BranchCacheで遠隔地からのファイルアクセスを高速化 - ＠IT
http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1503/24/news022.html

Azure | Win Win Windows | グローバルナレッジネットワーク
Microsoft Azureによる社内IT基盤の拡張
http://blog.globalknowledge.co.jp/winwin/azure/

Windows Server Essentials での BranchCache の管理
https://technet.microsoft.com/ja-jp/dn611824.aspx

「BranchCache」のような製品を調べていて、「FOBAS クラウドストレージキャッシュ®（FOBAS CSC）Ver.3」を見付けました。
「複数拠点（最大128ノード）からのアクセスに対応している、拠点毎にキャッシュサーバーを設置する」製品になります。
利用料金を考えると現在と大きく異なると思われますが、通信速度は大きく改善するはずです。
（価格を見て思いましたが、Enterprise Edition の下に、SOHO Edition のようなノード数（16程度）や容量（32TB程度)等に制限が掛かっている製品があると、導入しやすいのでは？と思いました）
（この製品の料金とは別に、クラウド側にストレージ使用料金が必要です）

FOBAS クラウドストレージキャッシュ®（FOBAS CSC）Ver.3
概要／特長｜製品情報｜FOBASコンサルティング株式会社
http://www.fobas.jp/products_csc_summary.html
FOBAS CSC Ver.3 の特徴のご紹介
http://www.fobas.jp/wp/?cat=5
構成例　最大128拠点でファイルサーバを同期
http://www.fobas.jp/products_csc_estimate.html

技術的な興味があったため、追加で調べました。

どうやら「クラウド　ファイルサーバー」と言うキーワードで各社色々な製品（サービス）を提供しているようです。

その中から、複数拠点での使用が可能、「BranchCache」のようなキャッシュサーバーが使用可能、という条件でいくつか見つけました。基本的なシステム構成は、今まで紹介した「BranchCache」を利用した構成や「FOBAS CSC」の構成と同じです。利用している技術が異なっています。

もし希望条件に合っていたら詳細をご自分で追加調査してください。halu.samuraiさんが必要としている細かな条件が不明のため、全く見当違いの技術だったらごめんなさい.

ファイルサーバの課題を解決｜運用管理のサイバー・ソリューション株式会社
http://www.cybersolution.co.jp/trend/marple.html

Panzuraグローバルファイルサービス ｜ SCSK株式会社
https://www.scsk.jp/product/common/panzura/index.html

質問者です。みなさん、回答ありがとうございます！さまざまな視点が得られ、大変プラスとなりました。

技術的には、Azure 上のファイルサーバー（SMB3.0限定）へインターネット経由で直接アクセス出来るようになったようです。

ただし、インターネット上を SMB でアクセスする事のリスクは考える必要が有りそうです。筆者（山市良）は「インターネット上をSMBでアクセスする貯めに、必要なポートをFirewall等でオープンにするリスクが高いため、使用する事は無いだろう」との見解です。

Microsoft Azure最新機能フォローアップ（9）：インターネットでSMBファイル共有を安心して使える時代が到来？――Azureファイルストレージ (1/3) - ＠IT
http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1511/16/news012.html

File Storage
https://azure.microsoft.com/ja-jp/services/storage/files/

2017年版の企業向けファイル同期／共有（EFSS [Enterprise File Sync and Share]）製品を紹介している記事を見つけたので、紹介しておきます。
似たような悩みの方がいた時に参考になれば幸いです。

ビジネス向けファイル同期・共有ツール11製品を徹底比較（前編） (1/2) － TechTargetジャパン 情報系システム
http://techtarget.itmedia.co.jp/tt/news/1707/14/news07.html

• Accellion「kiteworks」
• BlackBerry「BlackBerry Workspaces」
• Box「Box」
• Citrix Systems「Citrix ShareFile」
• Dropbox「Dropbox」

ビジネス向けファイル同期・共有ツール11製品を徹底比較（後編） － TechTargetジャパン 情報系システム
http://techtarget.itmedia.co.jp/tt/news/1707/21/news04.html

• Egnyte「Egnyte Connect」
• Google「G Suite Business」
• Intralinks「Intralinks」
• Microsoft「OneDrive for Business」
• Axway「Syncplicity」
• VMware AirWatch「VMware Content Locker」