こちらはいかがでしょうか？ご参考まで。

http://ebi.dyndns.biz/windowsadmin/2014/08/28/dns%E3%81%AE%E9%9D%99%E7%9A%84%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AA%E3%82%92%E5%A4%89%E6%9B%B4%E3%81%97%E3%81%A6%E3%82%82%E5%85%83%E3%81%AB%E6%88%BB%E3%81%A3%E3%81%A6%E3%81%97%E3%81%BE%E3%81%86/

数点気になります。
なぜ、VMなのか？
もう一つ、バックアップ用のnic設定は何に使っているのでしょう？
社内ネットワークのIPだけじゃダメな理由あるのでしょうか？

私のところも多少似た環境を作ってますが、そのようなことはないです。

違いは、Hyper VかVMか。

メトリックってこういう時関係ないんでしたっけ？

バックアップ用セグメントにデフォルトのゲートウェイを設定していませんか？もし設定しているなら空欄にしておく方がいいですよ。バックアップ用は一般に閉域なので設定する意味はないと思います。
Windowsサーバーだとネットワークの設定でゲートウェイを複数設定してもうまく動作しないことがあります。コマンドプロンプトでルーティングテーブルを静的に追加してメトリック順を明示してあげると解決することがあります。
あと勝手に書き換わるということなのでADのグループポリシーでDNSを設定していたりログオンスクリプトなのでDNSを書き換える設定などをしていませんか？

あ、デフォルトゲートウエイはありえますが、設定すると、ふたつ置くなと警告でるので、さすがにそこはつぶしているのではと思ったのですが、あり得ないわけではないですね。

ただ、ウチの環境ではワザと二つともにデフォルトゲートウエイをいれてますが、書き換わりしないですよ。

DNSの動的更新を無効にしてみてはどうでしょう
ご参考
http://www.atmarkit.co.jp/fwin2k/win2ktips/358disableupdate/disableupdate.html

ちょっと時間がたちましたが解決はされているでしょうか？

バックアップ用NICのIP設定の詳細設定のDNSタブで
「この接続のアドレスをDNSに登録する」のチェックを外してみてはいかがでしょうか？

もしくはDNSの設定を外せるのであればバックアップ用NICのDNS設定を外してみてはいかがでしょうか？

返信が遅くなっておりすみません。

本件ですが、とりあえずNICの設定が「自動メトリック」になっていましたので、これをNIC1を「10」、NIC2を「20」にして、数日様子を見ている状況です。

うまくいかなかったらOZEHICさんの情報よりレジストリの修正を実施してみようと思います。
尚、NIC2はバックアップを同じセグメントのストレージにバックアップするため、ゲートウェイの設定は行っていません（設定する必要性がない）。

まずは様子見、これで解決してくれるとうれしい...。
いろいろな情報ありがとうございました！