6月位に以下の業者に依頼して復旧してもらいました。

参考にどうぞ
https://www.ino-inc.com/corporate/profile.html

その世代のSeagateはいろいろ問題が出ているようですね。
自力でなんとかしているひともいますが、中のデータが最優先ならそれ以上何もしないで業者に任せましょう。
障害の度合いによっては結構な出費が必要かもしれませんので、今のうちに根回ししておいたほうがいいと思います。
http://rdwiki.rd-style.info/wiki.php?Seagate%C0%BDHDD%A4%CE%BD%A4%CD%FD%A4%CE%A4%DE%A4%C8%A4%E1#e034b15a

WindowsPCのSATAのHDDなら高額な修理を依頼する前に数千円程度のコピーツールを試してみてはいかがでしょうか。
参考にURLを記載しておきます。
他のメーカーもありますので「HDD　コピーツール」等でググッてみてください。

http://www.century.co.jp/products/pc/hdd-copy/

障害のレベルにもよりますが結構な確率でHDDのコピーができます。

随分前にジントさんが紹介されている業者を利用した事がありますが、トラブルになった事があります。

データ復旧業者は非常にたくさんありますので、納得出来る業者を探してください。

特に一度預けてしまうと、人質をとられている状態になるため、交渉が難しくなります。実際に預ける前の確認は、念には念を入れて、文書での契約を忘れずに行って、進捗確認もこまめに確認する事をお薦めします。

部門のエンドユーザから復旧要望があり、何度か以下の業者に依頼しました。
https://dataok.jp/

請求書での支払いに対応してくれる、復旧前に復旧可能データの一覧と見積もりを提示してくれるなど、法人のニーズに対応してくれる業者がいいですね。

というような事にならないために「会社としてのデータはパソコンではなくサーバ・ストレージにかならず原本を保存する（それはバックアップ体制を取る）」という事をルール化しましょう
（今回の場合はファイルサーバには保存していたがバックアップは取ってなかったということなのでしょう　バックアップ体制のないＰＣはサーバと呼んではいけません）

ウチである部署が”サーバにする”と言って余っていた古いＰＣに共有フォルダを作ってデータを全部そこに保管していました。　でも古いＰＣなのでＨＤＤが壊れて全データを喪失しました。私に泣きついてきましたが前述のルールを盾に「バックアップを取ってないのが悪い」と突っぱねました。（幸いデータの多くは個人のＰＣに似たものがあってほとんどは復活出来ました）　今ではその部署はストレージのありがたさをわかってくれています

もし試してみるなら
「ＵＳＢ接続の外付けＨＤＤ」ではなく「デスクトップＰＣの内蔵ＨＤＤの拡張」として繋いでみる
です　ＵＳＢでダメでもこれなら繋がることがあるかもしれません

こちらの業者利用したことがあります。
http://www.datarecoverytech.co.jp

復旧したいデータを取り出せなかった場合は代金は頂きませんというスタンスでした。

トラブル時の対応方法ですが、
通電させるだけでHDDには負担になるので、もう触らないほうがいいですよ。
復旧ツールを使うなんてもってのほかです。

直接対応したことはないので、また聞きで恐縮ですが。

株式会社アドバンスドテクノロジー
https://www.adte.jp/rec/

こちらは急ぎで対応してくれました。
急ぎで深夜対応してくれたこともあり、100万円以上かかったようですが。

ソフトウェアであれば、「復旧天使」がいいようです。
RAIDコントローラーが逝ってしまったHDDの復旧ができました。
http://www.recovery-angel.jp/

無事、復旧できるといいですね。

数年前に東銀座の業者へ見積と、渋谷のレンタルオフィスの業者と2つ利用したことが有りますが、渋谷のレンタルオフィスの業者にて限定的に復旧させたことが・・・。価格はそこそこ良心的でした。名前が今思い出せませんし、渋谷の業者は今あるのかどうか不明です。この手の質問、緊急なことが多いと思います。なのに役に立てずすみません。

さぼさぼさんも挙げていますが
アドバンスドテクノロジーさん

前職でサービス説明を受けた時に事故があったら相談しようかなと
思えた企業です。※事故がなかったので頼んでいませんが。

▽業者に頼む前にやること
マザーボードがHDDを認識しているのであれば、
KnoppixでDVD？CD？から起動してデータを救出するのは如何でしょうか。

これをやったのは数年前なので、いまでも対応できるかあやしいですが。。。。

みなさまたくさんの情報・アドバイス、ありがとうございます！

部門のほうでコストをかけてもデータ復旧希望とのことでしたので、
アドバイスいただいた通り、HDDにはもう触れず、
業者に見積もりを取りたいと思います。
過去に実績のある業者を紹介してくださったみなさま、
業界の実態を教えてくださったみなさま、ありがとうございました。

また、今後、
「コストはかけられないので、データは消えてもしょうがないけど、
ワンチャンス狙いたい」
のようなシチュエーションに遭遇した場合は、
紹介いただいたコピーツールや復旧ソフトなどを利用させていただきます。

でも一番いいのは、バックアップをしっかり取ってもらい、
今回のような状況に出会わないことですよね！
そういう面でも頑張りたいと思います。

みなさま、ありがとうございました。

湘南の下田商会が良心的です。