ちなみに予算といっても元々厳し目のものとなっていることもあり、
ベンダーからの見積と大きく乖離した場合には
社内的には交渉の余地あり　ではないかと考えています。

やり方は色々ですが　細かい仕様まで記述するときは予算額は無くてもよいと思います。　ベンダーの提示額が横並びになるようなときです。　そうなればあとは値引き競争ですから予算額は無くてもよいです。

逆にボヤっとした「こんなことやりたいんだけどなぁ」程度の仕様の時は予算額はきちっと入れてやります。　そういうときにはベンダーは調整して、低めなら余分になにか入れるでしょうし、高めなら何かを削ってくるでしょう。
あとは比較と交渉ですね。