定常的な請求に関しては、経費分類さえ決めてあげれば経理で処理可能だと思います。しかし、経理で処理した結果はご自分で確認された方が良いです。おそらくユーザ系企業のシステム部門の方かと思いますが、経費の流れから現状分析し問題提起に至り、業務や経費の改善という流れが最もオーソドックスで確実な業務改善だと思いますので。頑張ってください。

どこまでを、担当部門の通常業務と考えるかです。
私くも毎月、かなり多くの請求書の決済を行っていますが
通常業務の一環との認識で行っています。
素浪人さんも行っていましたが、業務改善を行うえでは
費用管理は重要と思います。
削減出来れば、活動成果としてアピール力もありますし、
評価もされます。
苦労して業務効率が上げても、セキュリティーを管理しても
費用対効果として、具体的に損益計算書に、数字で現われ無い
ので、評価され難い。（されない。）
従いまして、評価に結び付く、請求書の決済は、私くしは
好きな業務です。

その会社においてどの業務をどこがやるかはその会社で決めればよいことです。情シスがやりたくないと思えばそういって他に仕事を押しつければいいことです。
私のところでは　自分の職場の経費に関しては私が社内経費伝票の発行、上長承認、経理に支払いを頼む　をやっています。
他の職場の経費伝票を私が起票することは有りませんが、基幹系コンピュータの経費は使用状況に応じて他職場に経費振り替えを行っています。その伝票（というか按分比率指示）は私が行っています。

こんにちは。

私もdesatoさんが言われるように「その会社においてどの業務をどこがやるかはその会社で決めればよいことです。」だと思います。

ちなみに私のところは、各部署で支払実績金額を管理しているソフトウェアに「発注時」（発注情報）と「納入時」（納品情報）を入力し、納品書（又は請求書）に上司の承認印をもらって、経理部門に渡します。
経理部門は、月末に各取引先に対して支払処理を実施します。
インターネット回線や会社からスタッフなどに割り当てられている携帯電話料金など特定の部署ではなく会社全体でと言うようなものは総務部門が総括して処理しています。