会社で使用しているメーラーはBeckyなのですが、サーバーのパスワード変更をユーザに実施させようと検討しています。

こちらですが、Becky!はメールクライアントなので、メールサーバー側のパスワード変更機能は無いはずです。
メールサーバーのパスワードに合わせて、パスワードを入力する事は出来ます。

要望通りのシステムを実現しようとすると、何らかのしくみ(Web?)でユーザー側に、メールサーバーのパスワード変更用の画面を出して、そこで入力すると言う事になると思います。

この辺は、メールサーバーの種類によって大きく異なる部分のはずです。お使いになっている、メールサーバーのマニュアルなどを調べてみてください。
（もしくは、メールサーバー側にPWを渡すための、ユーティリティを開発するとか？）

Beckyを会社で使用している管理者の方に伺いたいのですが、パスワード変更は定期的に、またどのようにユーザに実施させていますか？
参考までに、お聞かせください。
よろしくお願い致します。

パスワードは定期的に変更しています。
パスワードは、メンテナンスなどの事もあり、情シスで一括管理しています。そのため、パスワード変更時も、事前告知して、サーバー上で一括変換しています。
この辺はそれぞれの会社で異なるポリシーがあると思いますので、参考程度にしてください。