お疲れ様です。

弊社は勤務体系が複雑ですので、ＷＥＢによる自己申請で行っています。
あまり、これでは参考になりませんので、今までＥ／Ｕへの提案事例を紹介します。

一番多いパターンはタイムカード連携ですね。
出社・退社をタイムカード連携（最近は社員証のフェリカと連携が多いです）を使って、管理をしているところが多いです。
この情報を、通常の給与ソフトに取り込む形になります。

言い換えるとこのパターンでは、休暇等の申請が出来ないことになります。

そうなりますと、タイムカード連携タイプの勤怠ソフト等を活用するのがよいのではないでしょうか？

勤怠ソフトの場合、ワークフロー機能がある物も多いですが、すでにワークフローがあると2本立てになりますし、勤怠ソフトのワークフロー機能はオプションのことが多いと思います。
ですので、今のＧ／Ｗから休暇申請情報等を出力できれば、それを勤務ソフトに取り込むことで活用が出来るかと思います。
ただし有給の残数等は勤務ソフトに依存しますので、ワークフローがＧ／Ｗだけでは、隅々まで行き届くソフトは難しいかもしれないですね。

効率化のパターンとして
・経理側の負担を軽減
・自己申請ベースからシステムベースへ
・申請者・管理職の負担軽減
のどれに重点を置くかで、ソリューションが変わってくるかと思います。

すべてをそろえるには、かなりお金もかかります・・・。

どこエリアを効率化するかを明確にすると、より的確なソリューションが見えてくるかと思います。

今までですと、
・勤次郎
・就業奉行
・ＡＭＡＮＯ　勤怠ソリューション
取り扱った経験があります。

ＡＭＡＮＯは、クラウドサービスもありますし、小規模から中規模まで適用しやすいですから、検討の価値があるかと思います。