①②③④⑤とも「自分が面接することになったときにしたい質問」とは思えませんが．．．　新人採用の面接ですか？　それとも人事査定のときに部下も敷くは上司からされる質問でしょうか？
でも想定として面白いので回答します

①大体の重さがわかりませんが数キロと仮定して、吊り下げ型の電子バネ秤を設置して、パソコンと接続します。　製品の移動の為のレールを設置してそこに吊り下げる形で秤をセットします。　製品を秤に吊るしたら［計測］ボタンを押すとパソコンにデータが取り込まれます。　計り終わったらレールで製品を移動します。　移動はレールなので軽いですから作業改善にもなってついでに重量も測れる、といいう提案です。

②仕事がなければ勉強に励むか、新システムを考えます。もしくは以前からの懸念事項を解決します（ので実際には”仕事がない状態”はあり得ませんね）。

③断る理由をつけろというなら下記の様にしますが、基本的には私だったら開発作業よりも現場のトラブルを優先します。
(1)「棚卸の目的は実在庫とシステム在庫の差を明らかにすることだから棚卸まで待ちなさい」　あるいは「現物管理と伝票発行は現場の責任なのでシステム屋の出る幕ではありません」

(2)「用紙が詰まっていことが判っているならそれを取り除きなさい　それくらい自分でできるでしょ」

(3)「まずはエラーメッセージの内容を言ってください　はぁPaper　exhaustion だって？　じゃあ用紙切れだから　用紙を補充してください」

(4)「手配機能の修正依頼について会議を行いますから営業部と購買部の担当の方は出席ねがいます。」と会議通知を出す。

(5)スグに連絡を取って対応策を話し合う　ですね。

＃実は(1)は私の最も得意とするところです。システムに懸念事項がなければ、「伝票発行をせずに物品を動かした」OR「現物が動いていないのに伝票発行した」のどちらかですから「私が調査してもいいがあなたの部署が原因だったら罰金だぞ」と脅かしてますね。　まぁ(1)の様に言ってくるのは現場に精通していない証拠ですね（精通していたらシステム屋に相談せずに自分たちで調べますよ）。

興味有る設問ですね。
以下は、私の場合の本音回答です。参考にならないとは思いますが
とりあえず回答を書かせて頂きます。

①　社内でのこういう仕事は、受益者負担の原則に立つので、工場で
　段取りするように取り決めます。工場では、残業等での対応も難しい
　状況ならば、工数を計算して他の時間がとれる部署に依頼するか、
　かなりの量であればアルバイトということになります。

②　忙しいときに後回しにしていた仕事をします。ただし、兼任なので
　別の仕事はいくらでもありますし、改善などに関係する仕事は自分で
　作り出さなければ誰もしないと言う社内事情もあります。

③（１）棚卸が近いなら、棚卸の時に在庫の実数を数えるので、システムの
　在庫数字ををそれに合わせなさい。
　そして違っていた原因をこちらに報告しなさい。
　運用がうまく出来ないなら改善について相談に乗ります。
　という返事になります。コンピュータの在庫が合わない原因は
　経験上ほとんどが人為的ミスです。伝票忘れ、数え間違い、コード間違い
　などです。

（２）紙を取り除けと指示しますが、経理Aでその時に動ける人材を見て
　これは余計にひどくなりそうだと感じた場合は、自分でやります。

（３）エラーメッセージを聞くことが最初で、それが簡単な状況で無い
　事を示している場合は、修理業者に連絡します。

④営業部長に修正の理由とメリットを確認して、それが良いと判断した場合は
　修正依頼を購買担当上長に回覧して、その修正がプラスになるかマイナス
　か、修正を受容するか等の判断をさせます。
　意見が分かれるようならば、両者を交えて会議を開催します。

⑤受信障害の内容を確認した上で判断します。かつてのｆ社のように
全部飛んだという非常事態でないことを祈るばかりです。
また別のホストｃ社では、そのホストサーバーの１台がブラックリストに
載って受信拒否されたことがあります。
そのサーバーを共有使用している会社のひとつがウィルスにやられて
膨大な迷惑メールの発信元になっていた結果、そのサーバー１台が
ブラックリストに載ったようです。
このときはホストとやりとりして解決するのに２日ほどかかっています。

という回答になります。
何年もやっていると、会社の流儀に染まってしまいます。
これでは面接で落とされそうですね。

うちの年配のダメ社員(A)、別部署の中堅ダメ社員(B)がするであろう回答を記載します。
皆さん、イラっとしてしまうかもしれません（苦笑）

①-AB. 工場がやりたいと言っているのだから、工場がやればいいと思います。
方法は現場で考えてください。
②-A. 仕事が無いなら特に何もしません。あーあ暇だなー。
②-B. 〜さんが仕事を振ってくれないんです(ただし、〜さんには何も言わない)
ABどちらも、ニュースサイトとかゲームをポチポチ—。
③-A. ちょっと今システムの開発作業で立て込んでいるから、現場で何とかしてください。
③-B. もうちょっと現場で何とかしてください。後、システムのエラーはもっと情報を集めてください。
(ただし、欲しい情報が何かは教えない)
④-AB. はいはいーすぐ直しますねー。
⑤-A. そもそも連絡に気づいてない。気付いた後も、何か障害になってるみたいだねー(隣席に世間話レベル)
⑤-B. ばっとぅさん、なんかメール使えないんですけど。大丈夫ですか？

私としては、AB共に上司・先輩に当たるので多少注意するぐらいしか言えませんorz
基本的に、この二人は無視して周りが困らないように私が作業しているのが現状です。
ちなみに、放置しているのは給与を支払っている社長に現状をオブラートに報告したものの、
特に何も言わないので「社長がいいなら・・」と諦めました。

今回の質問ですが、確認したかったことは以下になります。
①目的達成が最優先事項という意識の確認
→他部署の仕事と切り捨てるのではなく、協力して目的達成を目指せるか。
②受け身でなく、自分が動くという意識の確認
→仕事が無い状態でも、自分で仕事を作る・探すことができるか。
③現場業務の優先順位の確認
→現場業務に影響が大きい作業を優先して順位付けを行えるか。
④部門間の調整をするという意識の確認
→1部署の意見だけで判断せず、関連部門の意見を聞くという判断ができるか。
また、部署間の調整で会議が必要であれば、自分が会議の開催者になれるか。
⑤現場業務が停止することの危険性の認識確認
→現場の業務に影響があることを認識できるか。また、業務が停止しないようにすぐ動けるか。

以上より、私が想定した回答は以下になります。
①工場の作業負荷を下げる方法を相談し、必要であれば各部署に協力を依頼します。
また、自身の負荷に余裕があれば自分も重量計測作業を行います。

②まず、勉強も含めてやり残した仕事がないか確認します。
次に、現場に困っていることや改善したいことがないか確認します。
最後に、現場に出向いて業務改善できそうなところを探し、その部署の幹部に提案します。

③作業の優先順位として、経理B→経理A→工場→自身の作業と順位を付けます。
順位付けの理由は、緊急度・対処の難易度・現場を優先の3つを基準にします。
対応方法は下記のとおりです。
(1)伝票の入力漏れ等の可能性もあるため、棚卸時に差が出る件数が多ければ、
集計処理の不具合等も含めて再度調査します。現時点では、保留にさせて下さい。
(2)機械系にそこそこ詳しい人に協力を依頼します。できなさそうであれば経理Bの状況を説明し、
経理Bを優先に作業させてもらうことを伝えます。
どうしても不満が出そうであれば、経理Bに連絡して経理Aとの調整を依頼します。
(3)まず、エラーメッセージの内容を確認します。
内容によって、ベンダーに調査を依頼するか自身で調査するか決定します。
ベンダーには、決算が近いこと等を必ず伝えます。
(4)自身の作業は、残業や休日出勤等で調整しつつ、
どうしても期日に間に合わなさそうであれば上司と期日の調整を行います。

④購買に営業部長の意見を伝えます。そのうえで意見が分かれた場合は、営業と購買での調整を依頼します。
なかなか調整が進まなさそうであれば、自身が間に入って会議を開催します。

⑤ホスティングサーバーのベンダーに復旧予定目途や影響範囲等を確認します。
確認後、すぐに影響のある関係者に障害発生の連絡と業務を続行できるかの確認を行います。

お疲れ様です。
すでに答え？が出てしまっていますが＾＾；

①この「業務改善」がどこから出たものか確認します。
　どうも現場からでは無いようですから(まぁ社長からでしょう)。
　自分がどこまで関わっていいのかにもよりますが、まずは業務フローの作成、改善点の洗い出し等を行い、効果的な改善ポイントを探します。

　で、重量計測は、流れ作業に組み込めるならば、途中にPCに接続できる秤を追加して、マスタ登録ができるシステムの導入。
　それがダメなら人を増やす。と言う提案でしょうか。

②やることがない状況なんて出来たら、ひまでしょうがないですね。
　少なくともずっとオーバーワークなので＾＾；そんな状況になりませんが。
　もしなったら、
　・やろうと思って出来ていなかったことをやる。
　・新しく出てきている技術の調査・実験等を行う。

③(1)棚卸が近いならば棚卸で対応してもらう。てか、棚卸のために事前調査は？です。
　　ただし、システムの不具合・人的ミス等色々考えられるため、
　　手が空いたら原因追求はする必要があるでしょう。
　　原因追求を誰がやるのか・・・は、また別の問題ですが。

③(2)対応できる人がいなければ対応します。
③(3)上に同じ。あとはエラーの内容を聞いてアドバイスで済むものならばアドバイス。

　実際に自分の作業は、休日でも何でも使って調整ですね。

④まず、営業部長から購買の責任者に連絡と説明を行ってもらいます。
　その後改修が必要だと両部署で合意できたら、両部署から代表者を出してもらい、打ち合わせを行います。

⑤ホスティングの業者に連絡ですね。
　そこからの状況で何を行うかの判断と実行です。

今回の質問では難しいことを聞くつもりはない・・・との事ですが、難しいですね＾＾；
少なくとも、新卒採用でこの質問だと、答えられないのでは無いでしょうか。
中途採用や、経験者の場合は、模範解答されてしまいそうですね。

採用の質問て難しいですよね。個人的なことを聞くのはダメですしね。
でも、個人的なことを聞かないと、一緒にやっていけるかどうかの判断て難しいですよねぇ。
どんなに仕事ができても、性格が合わない人とずっと一緒だとつかれますよねえ。

このような質問の時に思い出す逸話があります。たしかリーダースダイジェストの余白に載っていたように思います。

アメリカのある会社で経理担当を雇うことになって募集したところ何人かの候補が来た。そこで面接したのだか採用された者の決めてとなった回答とは．．．
社長「ｏｏｏｏでｏｏだったら会社の利益はいくらになるか」
面接者「いくらになればよろしいのでしょう」
（つまり経理担当が数字を細工して「社長の思う通りの数字にしますよ」と答えたわけです）ここでマジメに「ｘｘｘｘの赤字になります」と答えた者は不採用になったのです。

なので、「採用面接で具体的事象について「あなたならどうする」的な質問は私ならやりません」（コメント（１）の追記10/24参照）なのです。

今年はウチにも新卒が来たのですが、入社面接で何を聞かれたか聞いたら
質問：「あなたはこの会社でどんなことがやりたいですか？」
A（男子）：「やりたいことはいっぱいありますが、まずは与えられた仕事を全力でこなしたいです」
B（女子）：「営業企画のようなことがやりたいです　自分で企画したことがうまくいけばうれしいです」
でもAは開発部門、Bは総務に配属です。　何のための面接だったのかわからん。