A社のメールサーバにフォワード先としてスタティックなIPアドレスが書いてあるのではないでしょうか？
DNS系のトラブルかどうかを判定するにはA社のサーバからNSLOOKUPを引いてみればわかります。

この際、新旧のドメインをC社のサーバに統合することを検討しても良いかもしれません。技術的には可能なのでC社に相談してはいかがでしょうか。

ちなみにドメインの移管作業にはきちんとした手順があり、
その手順を守れば「DNSの浸透が遅れる」といった問題をほぼ回避することが可能です。

ドメインを移管する作業自体、頻繁にあるものではないと思いますが、
確認しておくと良いでしょう。

スレ主様
お疲れ様です。

・A社からの転送はB社へしか来ていない
・通常のメールはC社に来ている

のであれば、コメント（１）さんが書かれている通り、
A社の転送制御が、転送先として直接B社のアドレスが指定されているのでないかと思われます。

色々とコメント（１）さんが書かれているので別の事を＾＾；

＞一部の顧客や取引先からのメールを受信しているなど
＞社内的な理由ですぐに契約を切ることができません。

これは、こちんとメアドが変わったことを通知して、一定期間後に
古いメアドは停止する方が良いと思います。
ホームページがあるならば、そこでも告知をしておいて。

如何でしょうか。

こんにちは。

A社の転送設定しているメールアドレス宛のものだけが
未だ旧サーバ（B社）に入ってきています。

A社宛のメールはB社のみ転送されるのであれば、静的転送を行っている可能性があります。
届いたメールのヘッダで、どこを経由しているか確認した方が明確と思われます。

A社⇒B社にて静的転送を行っているという前提の話となりますが、A社で利用中のドメイン(oldexample.com)が生きているのであれば、oldexample.comのMXレコードをC社に向けさせ、C社にてold_example.comも受信するように設定を行うのはどうでしょうか？
これによりA社⇒B社への転送はDNS反映が完了次第無くなります。

DNSの反映でMXがA社に向いている期間、B社に転送されているので、古いDNS情報も参照していればB社に届き、新しいDNS情報を参照していればC社に届きます。
※実質はB社とC社のメールを受信するようになります。

A社サーバのDNSが、転送先ドメインに対してどこを参照しているか詳細を問い合せました。
結果、参照するメールサーバ情報が、B社系列のサーバを刺していたため
B社サーバへメールが送信されていたようです。

通常起こる動作ではないが、原因は分からなかったということでしたが
キャッシュをクリアしてもらったところ
A社サーバの旧アドレス（old_example.com）宛のメールが
C社サーバに入るようになりました。

色々とアドバイスをいただきありがとうございました。
今後は、メールアドレス変更周知の徹底と、
古いメールアドレスの停止を進めたいと思います。