ハングアウトがどうかは知りませんが
公衆回線で２４ｈバッチリ接続しようとするとかなり無理があるかもしれません

監視カメラの例では”専用線を引いて”ならば問題ないのですが
”インターネット経由で”となると知らぬ間に切れちゃってるということになりがちです
この場合でもお客は「カメラが悪い」みたいに言ってくるので対応に苦労します

ＴＶ会議装置で双方の事務所を（夜遅くまで誰かが働いてる会社なので）写しっぱなしというところは知ってます　これはインターネット経由ですがで切れたという話しは聞いていません　　ただこれは１対１なので”（多数と）共有”ではないです

あまり参考にならない話しでしたね。

社内の監視カメラをパスワード保護した上でWANにポートフォワードしています。パスワードを知っている人がiPadやiPhoneの監視カメラ表示用アプリ入れれば外出先でも監視できますよ。

拠点間もWindowsのフリーソフトで24/365繋ぎっぱなしできてます。（多対多）

文脈から判断すると、
「らおうさんが、社外かららおうさんが社内で使用しているPCの画面を見たい時に見ることができませんか？」
ということですよね。
ということなら、PCのリモートアクセスツールでいいのでは。。。
例えば、"TeamViewer" のような。。。

画面イメージをすべて転送するため、最悪コマ送り的な動作にはなりますが、必要十分だと思われますが。

らおうさん以外の人に見せたいから、PCを操作できない方法がいいというのであれば
また別な話です。

質問①
ハングアウトでは24時間常時接続は難しいのでしょうか？

→ハングアウトは、連続で10時間か12時間で、接続延長するかどうかの確認がされて、延長しないと切断される仕様だったかと思います。