exchangeサーバ上にメールボックスがあることを前提とすると
ローカルに退避用のpstファイルを作ってoutlooにマウントする。そこにメールを任意のタイミングで移動。

クライアントローカルのPST自体を定期的にバックアップをとるか
バックアップがスケジュールされているファイルサーバ上に配置するくらいですかね。

まぁ根本的にサーバの容量増強か
要らない添付ファイル付きspamを減らすなど他にも対策はありますが。

ご使用になっているのは（Outlook.comではなくて）Outlook.exeですよね。
であれば「個人用 Outlook データ ファイル .pst」を作ればそこにメールでもなんでも保管できます。　それをバックアップしておけばパソコンが壊れても大丈夫。
ほかのところにコピーしたpstファイルを別のOutlookから見ることもできます。
（1つのpstファイルを別の複数のOutlookから同時に見ることはできません）

＃この程度の事はOutlookを使っている人なら判っていると思うけどな。

ナガトさん、タカパピさん、desatoさん

私、いつも聞かれたままに、ばっくり質問をしておりまして、すみません。何よりありがとうございます。また質問させて頂くかもしれません。宜しくお願い致します。