LANの微妙な緩みなどを検知することは
自動的に検出するのは不可能ですね。　実地検査するしかないでしょう。
職場で一斉に”手で触って”検査してもらうということになりますが．．．

でもその前に
・爪が折れているあるいは折れた場合は速やかに担当者に言ってプラグを交換する事を義務付ける
・ポートにジャックを差し込んだときはロックがかかったかどうか必ず確認することを義務付ける。
が重要でしょう。

ウチでは「爪が折れただけでＬＡＮケーブルを買い換えるのは勿体ない」と言った輩が居ましたが、ＬＡＮケーブルを買い換えるのではなくプラグを交換すればいいのです。　まぁ工具とパーツが必要ですが．．．　情シスには必須の備品だと思います。　（交換ついでに爪の折れないプラグにするとか、プロテクタをかぶせるとかするとよいですね）

実は「ＬＡＮの微妙な緩み」でＬＡＮ全体に障害を起こすことがあるようです。ＬＡＮの不具合を追求していったら、あるＨＵＢに行き当たり、ケーブルをコネコネやっただけで直ってしまったことがあります。

お疲れ様です。
コメント１さんの言われるとおり物理的なものですから、機械的に検知をすることは難しいと思われます。

もし近いことをやろうと思えば、各フロアーのスイッチをすべてL2のインテリジェントスイッチにそろえて頂き、SNMPでポートのリンクアップ/ダウン状況を取得し、それをSNMPマネージメントソフトで管理することで、リンクアップダウンの時間が短いもの等を絞り込むことで、絞り込むことは出来ると思います。

ただし、これが故障（ケーブルのコネクター不良）検知として利用するにはいろいろな制約があると思います。
まず、就業時間になってもリンクが落ちている（＝故障ではなくただの職員の有給でPCが起動していない）
リンクのアップダウンが数回あった（＝PCの再起動を日中にされることで、PC再起動によりリンクアップ/ダウンが繰り返された）
等々運用ルールとの照らし合わせもしていかないと故障なのか正常なのかが判断できないと思います。

やはり、爪折れは、ユーザー側の目視確認で報告、情シスはケーブル交換またはコネクター交換にて対応というのが流れとしてはスムーズだと思います。

あまりにもこのような問題が多い場合は、無線LANの導入も一つかと思います。

ご参考までどうぞ...。